Nguồn gốc của môn hình học xạ ảnh (perspective geometry)
Hình học xạ ảnh là ngành hình học “tân thời” đầu tiên của thế kỷ 19, phát xuất một cách tự nhiên từ hình học Euclid, cũng là nghành đơn giản và căn bản nhất. Hình học xạ ảnh bàn tới góc chiếu không thay đổi của hình khi người quan sát thay đổi vị trí quan sát, hay thậm chí di chuyển ra xa vô hạn. Môn hình học này phát xuất từ ý tưởng hình chiếu, gồm những quy tắc vẽ phối cảnh trong hội họa, dùng thể hiện không gian 3 chiều của vật thể trên mặt phẳng hai chiều. Các quy tắc nền tảng của phép chiếu này đã được nghiên cứu từ thời xa xưa.
Yếu tố bất biến đơn giản và cổ xưa nhất trong phép chiếu là hệ số cắt (cross-ratio) của bốn điểm đồng tuyến (collinear, xem mục 67). Đây là một thuật ngữ hiện đại, do Clifford (1878) đề xuất. Gần đây, hệ số này đã được chứng minh là yếu tố bất biến duy nhất của hình học ảnh xạ. Trong một cuốn sách còn sót lại sau thời Menelaus, nhan đề Sphaerica, có một định lý về hình học khối cầu (spherical geometry) tương ứng với yếu tố bất biến là hệ số cắt. Appolonius và Pappus đã biết rõ về một định lý đơn giản hơn trong mặt phẳng, nhưng nguồn gốc khám phá này vẫn còn là một dấu chấm hỏi. Yếu tố bất biến hệ số cắt trong hình chiếu ảnh xạ có thể rút ra từ định lý cổ đại xưa kia mà Thales đã biết tới, phát biểu rằng một đường thẳng song song với một cạnh tam giác sẽ cắt hai cạnh còn lại. Pappus viết về những tác phẩm thất lạc của Euclid, the Porisms, ông đưa ra 38 lăng trụ khác nhau và nói rằng Euclid đã biết về hệ số cắt bất biến này.
Phục dựng lại các tác phẩm thất lạc cổ xưa là chuyện thường của các nhà hình học. Les trois liveres de porismes d’Euclid (1860), công trình của Chasles, được xem là tác phẩm tái hiện công phu của tác phẩm the porisms. H. Zeuthen, từng nghiên cứu Chasles trong cuốn sách trên, cũng rất quan tâm tới các toán học gia Hy Lạp cổ đại, và đào sâu vào các chi tiết trong công trình của Apollonius bàn về các tiết diện nón (conic), như phương pháp xác định tiêu điểm của một hình nón trung tâm. Không chỉ thế, trong chuyên luận Die Lehre von den Kegelschnitten im Altertum (1886), Zeuthen còn cho rằng công trình Porisms chỉ là sản phẩm phụ của nghành hình học ảnh xạ về hình nón đã rất phát triển.
Những bước tiến trong thế kỷ 16 và 17
Ta cần nhắc tới hai học giả trung cổ quan trọng, đều đến từ Nuremberg vùng Bavaria, Johann Werner (1468-1522) và Albrecht Durer (1471-1528), người thứ hai còn nổi tiếng là một họa sĩ tài giỏi. Werner nghiên cứu lượng giác học hình cầu, và có lẽ là tác giả cuối cùng trong truyền thống trung cổ có những đóng góp nguyên bản về nghiên cứu tiết diện nón. Nhưng dường như ông không biết về hệ số cắt. Durer cũng là một trong những nhân vật quan trọng của nền toán học Phục Hưng, với những thành tựu nổi bật về áp dụng toán học trong hội họa, cùng việc phát triển những ý tưởng mới quan trọng trong toán học. Công trình lớn cảu ông là chuyên luận hình học ảnh xạ về tỉ lệ cơ thể người, hoàn tất năm 1523, nhưng mãi về sau mới xuất bản. Lý do chậm trễ là vì ông cho rằng cần phải một chuyên luận có tính nhập môn căn bản trước, xuất bản năm 1525 thành bốn tập, bởi chính công ty do ông sở hữu, và là những quyển sách toán đầu tiên xuất bản bằng tiếng Đức. Trong cuốn cuối, ông viết về các hình khối cân đối và bán cân đối, lý thuyết về đổ bóng (shadow), và một bài dẫn nhập lý thuyết ảnh xạ. Năm 1527, ông xuất bản một công trình khác về kỹ thuật đắp thành (quân sự), có lẽ là vì mối đe dọa xâm lược từ phía người Thổ đang lơ lửng trên đầu dân Đức thời ấy.
Đặc biệt cần nói rằng định lý của Pappus (xem Phần 1.1.2) thuộc về hình học ảnh xạ, tuy chủ đề này không được phát triển thêm cho tới 1500 năm sau. Nhưng trong khoảng thời gian dài đằng đẵng này cũng có một số khám phá tạo động lực trong cùng lĩnh vực, nổi bật là các định lý Desargues (1639), và Pascal (1640). Lấy cảm hứng từ những công trình của Appolonius và Pappus, Desargues nghiên cứu các đối tượng hình học, như hình nón, từ một góc nhìn mới, tập trung vào ảnh xạ, hay phép chiếu tâm điểm, cùng các đặc tính bất biến trong những trường hợp này.
Để mô tả định lý cơ bản của Desasrgues, ta lấy hai tam giác ABC và A’B’C’ ảnh xạ từ điểm O, tức là các nhóm ba điểm O, A, A’ – O, B, B’ – O, C, C’ đồng tuyến (nằm trên cùng một đường thẳng). Khi đó, các điểm giao nhau giữa các cạnh tương ứng của hai tam giác, AB và A’B’, BC và B’C’, AC và A’C’ nếu mở rộng ra thì sẽ cùng nằm trên một đường thẳng.
Tuy công trình của Desargues không nhận được nhiều sự quan tâm của giới học giả đương thời, nhưng có một số ngoại lệ quan trọng và những bài giảng của ông tại Paris đã tác động tới những nhà hình học Pháp như Descartes và Pascal. Pascal về sau xuất bản một luận văn khi mới tròn 17 tổi, trong đó có nhiều định lý về hình học ảnh xạ, chẳng hạn như định lý lục giác của Pascal, phát biểu rằng mọi lục giác nội tiếp một hình nón không suy biến (non-degenerate) thì ba điểm giao nhau các cạnh đối diện sẽ đồng tuyến.
Định lý Pappus thực ra là trường hợp khác của hình nón suy biến thành hai đường thẳng.
Phép chiếu tâm điểm có thể ánh xạ (chiếu) các đường thẳng song song trên những đường thẳng giao nhau, và vì thế, các đường thẳng song song trong nghành hình học mới không còn là trường hợp đặc biệt. Tức là, các đường thẳng song song sẽ hành xử như thể chúng giao nhau tại một điểm lý tưởng “vô hạn” nào đó. Ý tưởng này được giới thiệu trong công trình của Kepler (1571-1630) và Desargues. Khi đưa vào những điểm lý tưởng này, mỗi điểm cho một “chiều” của đường thẳng, làm phát sinh mặt phẳng hình chiếu, một sự mở rộng của mặt phẳng Euclid. Các đối tượng hình học căn bản vẫn là điểm và đường thẳng, nhưng có một loại đường thẳng mới gọi là đường thẳng vô hạn (line at infinity), bao gồm tất cả những điểm mới ấy. Định lý của Pappus, Menelaus, Desargues, và Pascal có thể xem là những phát biểu đúng đắn trong mặt phẳng mở rộng này. Thực ra, ở đây chúng trở nên đơn giản hơn trong mặt phẳng Euclid, không có trường hợp ngoại lệ nào vì hai đường thẳng sẽ luôn luôn giao nhau.
Desargues và Pascal cũng biết về hệ số cắt bất biến. Desargues có nói tới những khái niệm như tập hợp điều hòa (harmonic set) và ánh xạ đối hợp (involution), ông còn kiểm chứng lý thuyết polar cổ đại về các cực (pole) và đường cực (polar), đi xa hơn rất nhiều so với Appolonius. Trong hình học mặt phẳng, đây là cấu trúc sử dụng một hình nón cho trước (hình elipse, parabola, hoặc hyperbola) để kết hợp một đường thẳng (polar) với mỗi điểm (pole) và ngược lại. Cụ thể, hình nón sẽ có hai tiếp tuyến, tại p1 và p2, chạy qua một điểm p0 cho trước, và đường thẳng đi qua p1 và p2 sẽ là đường cực của p0. Sự tương ứng này sẽ có tính đối hợp, hơn nữa, còn có đặc tính khác, đó là đường cực của các điểm trên đường thẳng Y sẽ tạo thành các đường thẳng đi qua cực của Y. Desargues bắt đầu với một đường tròn dùng làm hình nón cho trước, ông dùng đường kính làm đường cực của một điểm ở vô hạn. Chúng ta nhắc lại rằng nếu đường tròn được ánh xạ thành hình nón bằng phép chiếu tâm điểm, thì hình ảnh cặp đường kính vuông góc sẽ là cặp đường kính liên hợp (conjugate) theo nghĩa của Appolonius. Desargues cũng giới thiệu những tam giác có tính chất đường cực tự thân (self-polar), hay tự liên hợp (self-conjugate), tức là mỗi cạnh của nó sẽ nằm trên đường cực của đỉnh đối diện.
Tuy nhiên, thuật ngữ có phần kỳ quặc này không tồn tại được, còn pole và polar thì đến nay vẫn dùng, và được giới thiệu lần đầu tiên bởi hai người đồng hương của ông, F. J. Servois (1768-1847) và Gergonne, lần lượt vào những năm 1811 và 1813. Nhưng trước đó, Euler, Legendre, Monge, và Brianchon cũng đã cùng cấu trúc pole-polar này. Monge, cũng hai học trò là Servois và Brianchon, đi tiên phong trong môn hình học ảnh xạ ngay từ đầu thế kỷ 19, nhưng Servois có lẽ nổi tiếng hơn vì dựng nên lý thuyết đại số của các toán tử, và tiến rất gần tới việc khám phá ra phép quaternion trước Hamilton.
Cuối thế kỷ 17, học giả người Paris (Pháp) là Philippe de La Hire (1640-1718), ban đầu là một họa sĩ, về sau rất quan tâm tới hình học và viết công trình nghiên cứu phép ảnh xạ trong hội họa. Sau Pascal, ông xứng đáng là học trò xuất sắc của Desargues về hình học ảnh xạ. Nouvelle methode (1673), chuyên luận nổi tiếng của ông mà trong đó ta nhận thấy những ảnh hưởng rõ ràng của Desargues, là phương pháp ảnh xạ rộng để nghiên cứu các tiết diện nón. Vận dụng phương pháp ảnh xạ, ông tái chứng minh 364 định lý Appolonius. Tuy nhiên, thật lạ lùng là ông không hề nhắc gì tới Desargues, cho thấy ông không biết gì về công trình của người này mãi cho tới khi xuất bản công trình của mình.
Tại Ý, nhà hình học Giovanni Ceva (1647-1734) rất quan tâm tới hình học tổng hợp về tam giác, nổi tiếng nhờ phát hiện ra định lý Menelaus cổ xưa, cũng như định lý Ceva của chính ông vào năm 1678. Định lý Ceva phát biểu rằng ba đường thẳng từ các đỉnh A, B, C của một tam giác lần lượt chỉ vào các điểm P, Q, R trên các cạnh đối diện sẽ đồng quy chính xác khi các tỉ lệ của các cạnh chia cho nhau bằng 1:
Trên thực tế thì định lý Ceva đã được các nhà toán học Ả Rập biết tới từ thời vua Saragossa, khoảng thế kỷ 11.
Học tiếng Anh:
Ý tưởng đơn giản về danh từ ghép trong tiếng Anh
Pass the buck – Khi bạn không dám nhận trách nhiệm
Các kiểu tính từ trong tiếng Anh và một số quy tắc dùng tính từ
Hình học mô phỏng của Euler và hình học họa pháp của Monge
Bộ môn hình học ảnh xạ dần dần rơi vào quên lãng, trong khoảng 100-150 năm sau La Hire và Ceva. Tuy nhiên, như khúc dạo đầu cho sự hồi sinh của hình học xạ ảnh vào đầu thế kỷ 19, trong thế kỷ 18 Euler đã có bước tiến quan trọng đầu tiên khi phát hiện ra có những đặc điểm hình học mặt phẳng Euclid bất biến dưới dạng hình chiếu song song từ mặt phẳng này lên mặt phẳng khác. Mặt phẳng mô phỏng và mặt phẳng Euclid hợp thành các tập hợp, có cùng các điểm và đường thẳng. Nhưng khái niệm góc chưa được định nghĩa, và so sánh các đường thẳng theo những chiều khác nhau vẫn còn vô nghĩa. Tính khái quát của những chuyển động mô phòng, sinh ra bởi tất cả các hình chiếu song song khả dĩ, được minh họa đơn giản trong mô hình mặt phẳng cố định Cartesian, trong đó các chuyển động mô phỏng là những dịch chuyển tọa độ của loại
Trong đó cần phải có các điều kiện (trực giao) trên a, b, c cho chuyển động Euclid. Vậy nên, hình học mô phỏng được xem là “giai đoạn nghỉ giải lao” của hình học Euclid.
Tiếp theo, ta hãy quay trở lại với hình học mô phỏng, bắt nguồn từ các công trình thời trung cổ của Durer, để vượt qua những vấn đề về hình chiếu, và mô tả chuyển động của các vật thể trong không gian. Nhưng ý tưởng của ông không đặt trên nền tảng toán học vững chắc cho tới khi công trình của Monge ra đời. Đầu thập niên 1760, khi còn là một thanh niên, Monge đã nghiên cứu các hình chiếu vuông góc trong không gian 3 chiều, và biểu thị một hình bằng “bóng” của nó trong những mặt phẳng vuông góc với nhau. Sau đó ông sáng chế ra phương pháp tái tạo hình gốc từ “bóng” của nó. Vậy thì, hình chiếu vuông góc, phương pháp đồ họa được dùng trong vẽ kỹ thuật ngày nay là từ Monge mà ra, và bộ môn này sau được gọi là hình học mô tả (descriptive geometry)
Tiếp theo, các ý tưởng của Monge bắt nguồn từ vấn đề đắp thành, mà ông nhận cho quân đội Pháp. Chuyện này gợi ta nhớ lại chuyên luận của Durer vào năm 1527, bàn tới việc đắp thành, nhưng có lẽ đã lạc hậu vào thời Monge, 250 năm sau. Giải pháp của Monge thành công đến nỗi quân đội giữ bí mật phương pháp này trong 30 năm, và cấm Monge công bố chúng. Tài liệu của ông bàn về vấn đề này xuất hiện năm 1795, khi Ecole Polutechnique được thành lập. Tại Pháp, nhiều nhà hình học nổi tiếng có xuất thân từ những trường quân đội, và tham gia vào Cuộc Cách Mạnh hoặc các hoạt động quân sự. Đặc biệt, hầu như mọi sinh viên tại Ecole Polytechnique đều trở thành quân nhân hoặc sĩ quan trong quân đội Napoleon, và sau này giữ những vị trí quan trọng trong đời sống chính trị và học thuật.
Monge thuyết giảng về hình học miêu tả tại Ecole Polytechnique, và bộ môn này trở thành một phần quan trọng của giáo trình, ông nhấn mạnh tới sự trực quan hóa (visualization) hình học của các vấn đề vật lý và toán học. Kiểu Pháp nhanh chóng trở thành hình mẫu cho các trường và học viện quân sự khác của nhiều quốc gia noi theo, gồm cả Mỹ, và hình học miêu tả trở thành bộ môn chính. Tuy nhiên, về vấn đề trực quan hóa hình học, T. Olivier (1793-1853) đi xa hơn Monge nhờ xây dựng được tập hợp mô hình hình học với mục đích sư phạm. Một số mô hình là những mặt phẳng có quy tắc, thậm chí với những bộ phậm chuyển động để minh họa cách mà những bề mặt đó được sinh ra, một số khác được thiết kế để minh hoạt những đường cong xuất hiện như là giao điểm của các bề mặt. Những mô hình này được thương mại hóa, nhất là ở Mỹ, trở thành món hoạnh tài cho Olivier. Ở Đức, loại hình kinh doanh này còn rất phát đại khi qua tay Plucker, người đã học ở Paris được một năm, và là giáo viên rất có ảnh hưởng tại Bonn trong khoảng 1867-1868. Theo đề nghị của Clebsch, năm 1869, L. C. Wiener (1826-96) đã dựng các mô hình lập phương bằng vữa và các loại mô hình khác, sau đó đem trưng bày ở London và Chicago. Klein cũng trở nên nổi tiếng với những mô hình bằng dây và bằng vữa tại Đức, và khoảng đầu thập niên 1870, mối quan tâm của ông về các mô hình được thể hiện trong những bức thư gửi cho Lie.
Carnot là học sinh đời đầu của Monge, cùng với thầy gầy dựng học viện Ecole Polytechnique. Ông cũng dạy ở đó, là người có kiến thức vững chắc về kỹ thuật, và nổi tiếng trong tư cách là nhà hình học. Ông khao khát vượt qua trào lưu khái quát do những phương pháp đại số của Descartes, nên cố gắng đơn giản hóa hình học thuần túy và đặt nó vào một bối cảnh phổ quát. Ông đặc biệt quan tâm tới các hình tương quan (correlative figures), sinh ra khi biến dạng liên tục một hình cho trước. Trước tiên ông thiết lập các mối quan hệ hình học cho trường hợp đơn giản nhất, trong đó mọi đại lượng liên quan đều là số dương, sau đó ông giả định rằng các mối quan hệ ấy là giống nhau, và luôn đúng khi thay thế hình cho trước bằng một hình tương quan của nó. Cái tiện của phương pháp này, hay đúng hơn là “tiên đề” của nó, được chứng minh bằng cách rút gọn những khái quát trong định lý Menelaus và Ceva, và thiết lập các định lý về Nguyên tố của Euclid từ một định lý đơn lẻ. Ông xuất bản những kết quả này trong khoảng 1801-1803, và nguyên lý này trở thành tiên báo cho nguyên lý liên tục của Poncelet. Tác phẩm lớn về quân sự của Carnot, cũng như của Durer và Monge, cũng bàn về việc đắp thành, xuất bản năm 1809.
Kiến thức toán học:
Hình học hữu hạn là gì, và ảnh hướng của nó
Lý thuyết nhóm và ứng dụng vào hình học
Sự tái xuất của hình học xạ ảnh vào thế kỷ 19
Cuối thế kỷ 18, hình học Euclid vẫn là khung căn bản cho tư duy hình học, nhưng với khúc ngoặt của thế kỷ, tình hình đã thay đổi mãnh mẽ. Rốt cuộc thì thế giới của chúng ta là hình học xạ ảnh chứ không phải không gian Euclid, vậy nên nhiều nhà hình học tin vào các điểm vô hạn, và có lẽ coi những ý tưởng hình học căn bản thuộc về hình học xạ ảnh. Dần dần, vẻ đẹp hiển hiện và sự linh động của hình học xạ ảnh đã biến nó thành bộ môn yêu thích của nhiều nhà hình học, họ lao vào “mỏ vàng” mới và nhanh chóng khai phá ra những kho tàng. Chính vì thế, sự trỗi dậy của hình học xạ ảnh được coi như hình học hiện đại của thế kỷ 19. Trong suốt những thập niên đầu, các nhà hình học tại Pháp và Đức giữ vai trò tiên phong. Paris tiếp tục là tâm điểm cuộc chơi. Và ta không thể chối bỏ rằng phần lớn các nhà toán học Pháp đã góp công kiến tạo hình học xạ ảnh. Vai trò của Monge rất có ảnh hưởng, vừa trong tư cách là giám đốc vừa là giảng sư tại học viện Ecole Polytechnique. Có thể coi ông là chuyên gia hiện đại đầu tiên về hình học như một tổng thể. Các nhà hình học nổi bật khác là Carnot, Poncelet, Gergonne, và Chasles của Pháp, Mobius, Steiner, von Staudt, và Plucker trên mặt trận Đức.
Poncelet và cuộc kiến tạo hình học xạ ảnh
Tại Paris khoảng 1800, người ta bắt đầu khai quật lại và khảo sát những ý tưởng hình học có từ thế kỷ 17, và có thể truy ngược nguồn gốc tới thời cổ đại. C. J. Brianchon (1783-1864) ngay sau khi vào trường Ecole Polytechnique khám phá định lý lục giác đã thất truyền của Pascal. Từ đó mà ông tìm ra một định lý lục giác khác, nhờ khéo léo áp dụng cực tính (polarity) cổ xưa vào hình nón. (xem Lie-Scheffers [1896], Kap. 1, 3). Định lý Brianchon (1860) nói rằng đối với mọi hình lục giác ngoại tiếp một hình nón thì ba dường chéo sẽ gặp nhau tại một điểm chung. Thực ra, các định lý của Pascal và Brianchon là ví dụ rõ ràng đầu tiên cho một cặp định lý kép. Định lý của Brianchon về sau được Mobius (1847) khái quát thành trường hợp (4n + 2)-gon. Trong danh sách dài dằng dặc những nhà hình học xuất thân từ ngôi trường của Monge, Poncelet xếp hàng đầu và trước nhất.
Sự nghiệp toán học ban đầu của Poncelet đặc biệt thú vị. Ông học các công trình của Monge, Carnot, và Briancho tại Ecole Polytechnique, rồi tốt nghiệp năm 1810, ở tuổi 22. Nhưng vì bệnh tật nên ông già sớm, bất giờ chọn sự nghiệp quân sự. Được đào tạo làm kỹ sư, tham gia chiến dịch xâm lược Nga của Napoleon năm 1812 và đánh trận Krasnoy kinh hoàng, may sao sống sót. Bị bắt làm tù binh ở Saratov cho tới khi Napoleon đại bại năm 1814, Poncelet giữ bên mình cuốn sổ tay khi trở về Pháp vào mùa thu 1814. Trong những năm sau đó ông phát triển những ý tưởng mới một cách hệ thống, được đề cử giữ chức Kỹ sư trưởng và giảng sư cơ học tại Metz, cho đến năm 1825 khi ông nhận vị trí giáo sư cơ học. Poncelet xuất bản nhiều bài nghiên cứu về hình học và cơ học, nhưng vẫn không bỏ sự nghiệp quân sự, đặc biệt được vinh danh nhờ những phát minh cơ học.
Trong những nghiên cứu ban đầu cũng như các bản ghi chú khi bị giam cầm tại Saratov, Poncelet ứng dụng phép hình học phân tích (analytic geometry). Tuy nhiên, vì một số lý do, sau khi trở lại Paris ông lại chuyển sang say mê hình học tổng hợp (synthetic geometry). Trite (1822), công trình nổi tiếng của ông, đã làm bùng lên những tiến triển của môn hình học, giữ vị trí độc tôn tại nhiều trường đại học trong và ngoài nước. Với những nghiên cứu về mối quan hệ giữa một hình và ảnh của nó tạo bởi phép chiếu tâm điểm, Poncelet đã thực hiện bước tiến cuối cùng trong hành trình dùng toán học để mô tả chính xác ý niệm hình học cổ đại về ảnh xạ. Thực ra, Desargues đã khơi mào chủ đề này vào năm 1639, nhưng công trình của ông đã bị quên lãng cho tới khi được mang ra ánh sáng năm 1845.
Chẳng hạn, khi một hình phẳng được chiếu dưới những tia sáng phát ra từ một điểm bên ngoài, thì bóng của nó trên bất kỳ mặt phẳng nào khác đều là hình chiếu của nó. Như ta đã quan sát, các hình chiếu song sóng mà Euler đã nghiên cứu là trường hợp đặc biệt của các phép chiếu tâm điểm từ những điểm lý tưởng nằm ở vô hạn. Khi dùng từ ảnh xạ (projective) để chỉ chung những đặc tính của hình được bảo toàn trong những biến đổi của nó, Poncelet thực đã tạo ra một bộ môn hoàn toàn mới với tên gọi hình học xạ ảnh. Ta có nói rằng Mobius và Chasles, những người đã xây dựng lý thuyết theo một cách khác, cũng dùng thuật ngữ collineation (phép cộng tuyến) và homography (phép đồng dạng) để chỉ sự biến đổi hình chiếu. Một số khác, như von Staudt, thì dụng thuật ngữ phép cộng tuyến.
Tuy Mobius và Chasles không ngần ngại sử dụng phương pháp phân tích, nhưng Poncelet kịch liệt phản đối việc dùng tọa độ. Để đạt được sự khái quát về mặt phân tích, ông nhận thấy phải đưa vào những điểm hình học tổng hợp tưởng cũng như những điểm lý tưởng. Vậy nên ông giáng một đòn nặng vào những điểm tưởng tượng, với sự mạnh dạn và kiên quyết vượt xa những người đi trước ông. Vì mục đích này, ông dựng trên ý tưởng của Carnot về các hình tương quan, và trong công trình Traite ông đưa ra Nguyên lý Liên tục (Principle of Continuity), một thuật ngữ do chính ông tạo ra. Một nguyên lý quan trọng khác, cùng ra đời dưới ánh hào quang thập niên 1820, là Nguyên lý Song đối (Principle of duality) mà chúng ta sẽ bàn tới trong phần dưới.
Poncelet viết về các điểm và đường thẳng tưởng tượng mà không định nghĩa chúng, tuy thỉnh thoảng ông có đưa ra một định nghĩa hình học khá phức tạp. Dù sao thì, nguyên lý liên tục đã lót dường cho sự ra đời của những yếu tố tưởng tượng (imaginaries) trong hình học, mà cách diễn giải chúng đôi lúc khá mập mờ, mà Steiner gọi là “những hồn ma trong vương quốc bóng tối của hình học” (x. Rowe [1989: 212]).
Poncelet lần đầu tiên phát biểu một trong các nguyên lý của hình học hiện đại, cụ thể là mọi đường tròn trong mặt phẳng đều đi qua hai điểm tưởng tượng, gọi là những điểm tuyệt đối, hay những điểm tuần hoàn (circula) ở vô hạn. Tất cả mọi đường tròn trong mặt phẳng Euclid đều có những điểm này. Ông còn đưa ra khái niệm đường tròn hình cầu tại vô hạn mà mọi hình cầu trong không gian 3 chiều Euclid đều có. Nhưng tất nhiên, đây có lẽ là chiến thẳng cho giới phân tích, như Plucker, khi ông có thể dễ dàng “tính toán” những điểm này bằng các số phức. Cụ thể, liên quan tới những tọa độ đồng nhất xicủa mặt phẳng hoặc không gian mở rộng bằng phép chiếu, thì hai tiêu điểm được cho bởi công thức:
Ở đâyvà trong chuỗi trên, ta phải bám theo ý nghĩa thông thường của các tọa độ đồng nhất, cụ thể chúng chỉ được xác định dựa trên một yếu tố chung khác 0.
Ngoài ra, theo Poncelet, hai hình nón giao nhau tại bốn điểm, thực hoặc phức, và hai hình nón thực không có điểm chung thực thì sẽ có hai đường chung tưởng tượng. Để làm rõ hơn, ta hãy nhắc lại định lý Poncelet-Steiner, Poncelet đặt thành định đề con Steiner kiểm chứng, rằng mọi kiến trúc Euclid (với thước và compa) chỉ cần dùng thước kẻ cùng với một đường tròn có tâm điểm là có thể vẽ được.
Đọc thêm
Nguyên lý Liên tục và Nguyên lý Song đối
Nguyên lý Liên tục có một lịch sử dài, được nhiều học giả trước Poncelet quan sát tìm tòi cách này cách khác. Chí ít cũng phải từ thời Kepler vào đầu thế kỷ 16, và Leibniz phát biểu thành định luật tổng quát có thể áp dụng theo nghĩa triết lý. Chẳng hạn, Boscovich (1711-1787) đã phát biểu và áp dụng nguyên lý này, Monge và Carnot trước Poncelet cũng dùng. Tuy nhiên, nguyên lý này không được giới hình học gia chấp nhận rộng rãi, cho tới năm 1822 khi nó được Poncelet lập thành công thức trong công trình Traite của ông.
Kline [1972: 844] cho rằng nguyên lý liên tục thực ra đã được chấp nhận như một trực giác trong thế kỷ 19 và vì thế được coi là một tiền đề. Các nhà hình học đã mặc nhiên sử dụng nó mà không đòi hỏi phải có bằng chứng. Việc định ra công thức đưa tới phát biểu rằng nếu một đồng nhất thức giải tích (analytic identity) bao gồm một số hữu hạn các biến đúng với mọi giá trị thực, thì nó cũng đúng với mọi giá trị phức khi khai triển giải tích (analytic continuation). Tuy nhiên, dù Poncelet không thể lý giải việc sử dụng nguyên lý này, ông nhất định không xem nó là thứ phẩm của phép giải tích. Vậy nên nói mới dẫn ông đến những cuộc tranh cãi dài hơi với những toán học gia khác như A. L. Cauchy (1789-1867), người đi tiên phong trong lĩnh vực giải tích số thực thực và số phức.
Ta hãy trở lại đầu thế kỷ 19, khi Brianchon khám phá ra hai định lý liên quan mật thiết với nhau. Lúc này, cả Brianchon lẫn các học giả dương thời đều không công nhận nguyên lý chung làm nền tảng cho khám của ông, tức là Nguyên lý Song đối (Principle of duality).
