Người đề xuất hình học hữu hạn
Nhiều người tin hình học Euclide là chuẩn mực trong thế giới vật lý. Trong hai ngàn năm, hình học Euclide đã thống trị thế giới hình học, các nhà toán học nghĩa đây là mô hình duy nhất của thế giới. Khi Nikolai Lobachevsky và Janos Bolyai mô tả một thứ hình học với những dự đoán khác hẳn so với hình học Euclide về bản chất của không gian thì giới toán học bắt đầu tái đánh giá lại hiểu biết của mình về mối quan hệ của hình học với thế giới vật lý. Theo bước chân của hai nhà toán học trên, họ bắt đầu tạo ra những tập hợp tiên đề để khảo sát hệ quả logic của những gì mà họ tạo ra.
Nhanh chóng, giới toán học nhận ra ngay rằng việc lựa chọn tiên đề là vấn đề mang tính cá nhân. Chừng nào mà các tiên đề còn giữ được sự logic – nhất là nó không thể chứng minh kết quả vừa đúng vừa sai khi sử dụng tập hợp tiên đề ấy – tập hợp tiên đề này, xét theo quan điểm toán học, tương đương với tập hợp tiên đề khác. Năm 1892, Gino Fano (1871-1952), nhà toán học Ý, giới thiệu một tập hợp các tiên đề đầu tiên cho hình học hữu hạn (finite geometry). Hình học hữu hạn chỉ chứa một số lượng điểm hữu hạn, tức cụ thể. Chẳng hạn, hình học hữu hạn của Fano chỉ chứa đúng 15 điểm. Sau khi Fano đề xuất hình học của ông thì giới toán học cũng bắt tạo nghiên cứu và tạo ra nhiều hình học giới hạn khác. Và họ vẫn đang tiếp tục làm thế.
Đọc thêm
Một ví dụ minh họa
Hình học giới hạn của Fano, vốn tồn tại trong không gian ba chiều, rất phức tạp không thể tóm tắt ở đây, nhưng để minh họa thì ta sẽ nói tới một trường hợp hình học hữu hạn đơn giản hơn. Nó được định nghĩa bởi ba tiên đề sau:
Tiên đề 1: Có chính xác 4 đường thẳng
Tiên đề 2: Với mỗi cặp đường thẳng, chỉ có một điểm chung.
Tiên đề 3: Mỗi điểm đều nằm trên hai đường thẳng.
Để ý các tiên đề trên không cho biết số lượng điểm. Tuy đúng là các tiên đề xác định một hình học giới hạn sẽ phát biểu rõ ràng số điểm trong hình học ấy, nhưng chúng không nhất thiết phải làm vậy. Trong trường hợp hình học bốn đường thẳng nói trên thì ta có thể rút ra được số điểm của nó. Bằng cách lập luận như sau:
- Theo tiên đề 2, mỗi cặp đường thẳng sẽ xác định một điểm. Vậy thì số điểm ít nhất phải bằng với số cặp đường thẳng.
- Theo tiên đề 3, mỗi điểm phải nằm trên hai đường thẳng, vậy thì sẽ không có thêm điểm nào khác ngoài số điểm đã xác định bằng tiên đề 2.
- Kết luận, số điểm bằng với số cặp đường thẳng tùy theo cách bạn chọn các cặp đường thẳng trong số bốn đường đã cho (tiên đề 1). Ta sẽ có chính xác 6 cách khác nhau để chọn hai đối tượng từ một tập hợp bốn đường thẳng. Kết luận, có chính xác 6 điểm trong hình học bốn đường thẳng này.
Hình học hữu hạn đơn giản kiểu này đôi lúc được đưa vào chương trình học phổ thông và đại học, để giới thiệu cho sinh viên về hình học phi-Euclide, và đôi lúc chúng tỏ ra rất hiệu quả trong việc nghiên cứu các vấn đề thực tế. Hình học hữu hạn được áp dụng để phát triển mã điều chỉnh sai số, được dùng trong lưu trữ và truyền phát dữ liệu số. (Đôi lúc – có lẽ vì tính tĩnh – một con số có thể bị đọc nhầm. Vậy nên với mã điều chỉnh sai số, máy tính có thể xác định vị trí sai số và sửa nó.) Hình học hữu hạn cũng rất hữu dụng khi nghiên cứu một số thể loại đại số nhất định, và trong một lĩnh vực toán học gọi là toán học tổ hợp (combinatorics), nghiên cứu chức năng mà các tập xác định tạo ra. Hình học hữu hạn cho thấy hướng đi đa dạng của hình học hiện đại. Hình học Euclide tuy vẫn rất hiệu quả, nhưng giờ đã trở thành một phần nhỏ trong thế giới hình học rộng lớn.
