Các nhà Bác học Ả Rập, đã có mặt tại Ấn Độ từ Thế kỷ VI CN, khi làm việc với các văn bản toán học bằng chữ Sanskrit (chữ Phạn), đã có hai phát hiện lớn mà sau đó họ phát triển rồi truyền bá sang phương Tây, đó là cách viết các số trong hệ thập phân với khái niệm về “số không” và góc lượng giác các hàm số. Những bước tiến xa đó của lĩnh vực văn tự, tính toán và phép tam giác, số thập phân không phải do ngẫu nhiên mà đáp ứng được những mối quan tâm cổ truyền của Ấn Độ, nơi các nhà Bác học xưa nay vẫn tỏ ra có một tài năng và sở thích về các hình thức ngữ pháp.
Toán học, cũng như tất cả các môn khoa học khác ở Ấn Độ Cổ đại, đều phải chịu những trói buộc với một văn phong gắn liền với tiếng Sanskrit và thể luật vì hầu hết các văn bản khoa học đều viết dưới dạng thơ.
Các luận văn toán học lớn, viết bằng tiếng Sanskrit, thường là công trình của một người Bàlamôn (đẳng cấp cao nhất trong xã hội) gồm một văn bản cơ bản, viết tóm lược dưới dạng những câu cách ngôn (sutra) hoặc những khổ thơ để học thuộc lòng, tiếp theo là những lời bình giảng dài dòng bằng văn xuôi. Những lời bình giảng này giải thích ý nghĩa của những văn bản cổ đó, xác nhận rằng chúng mang tính chất cách ngôn và được chủ ý thảo ra như những bài giảng tóm tắt của một ông thầy muốn ghi sâu vào trí nhớ học trò.
Chữ số và các hệ ký hiệu số
Các nhà khảo cổ nghiên cứu các ghi chép trên đá hoặc đồng đã được tìm thấy, các số hiểu theo nghĩa những kí hiệu hình hoạ đã được sử dụng từ thời xa xưa. Ví dụ, các số 4 và 6 đã được tìm thấy trong các văn bia Acoka, có từ Thế kỷ III Tr.CN. Nhưng các số ấy lại rất ít khi có mặt trong các văn bản toán học đích thực. Những chữ số mà ta gọi là chữ số Ả Rập vì chúng được các tác giả Ả Rập truyền bá đi các nơi khác trên Thế giới, thực ra bắt nguồn từ Ấn Độ. Nhưng nói chung, chúng ít được dùng trong các văn bản bằng tiếng Sanskrit, ở các văn bản đó các số được viết đầy đủ bằng chữ hoặc được tượng trưng bằng những mã hiệu chữ cái.
Các số được sắp xếp theo chiều thẳng đứng trên nhiều dòng, ít nhất đó là điều rút ra từ một bài bình luận do Bhaskara Cha viết năm 629 CN về tác phẩm Aryabhatiya. Song rủi thay, các bản chép tay của Ấn Độ, dù viết trên giấy hay trên lá cọ, có tuổi thọ trung bình không quá ba thế kỷ vì bị làm mồi cho nấm mốc và sâu mọt. Các bản chép tay của bài bình này còn đến ngày nay là những phiên bản hiện đại, không thể dùng làm bằng chứng cho cách viết ở những thời cổ xa xưa. Bản viết tay Bakhsali (Thế kỷ XII) có lẽ là văn bản cổ xưa nhất về mặt này: nó cho thấy những phép tình bằng chữ số Ả Rập rải trên nhiều dòng, đặt trong những cái vỏ hoặc những cái khung.
Sự vắng mặt của các ký hiệu hình hoạ và các chữ số trong các câu cách ngôn và các khổ thơ của các văn bản toán học cổ điển không có nghĩa là hệ ký hiệu số không được sử dụng. Duy có điều là hệ ký hiệu này mang tính chất ngữ pháp tu từ.
Nhờ những khả năng đồng nghĩa hầu như vô tận của tiếng Sanskrit mà các chữ số có thể được diễn đạt bằng những hình tượng văn học và ẩn dụ. Vì thế, nayana (mắt) hoặc babu (tay) là những danh từ chỉ số 2. Agni (lửa) chỉ số 3 (vì có 3 thứ lửa lễ nghi theo Kinh Veda) và adri (núi) chỉ số 7 (theo địa lý tôn giáo Hindu, chỉ 7 ngọn núi ở Ấn Độ). Những từ “bầu trời” hoặc “không gian” trong tiếng Sanskrit chỉ số không. Thứ tự các hình tượng tạo nên các số ngược lại với thứ tự trong hệ số ngày nay: ví dụ 23 viết bằng agninayana.
Hệ ký hiệu trên đây có ích trong việc viết dưới dạng thơ một loại chữ số mà ngày nay ta viết dưới dạng bảng. Ở Ấn Độ cũng như các nơi khác, các số số liệu thiên văn trong các cuốn niên giảm từ hàng thế kỷ nay được trình bày thành các cột số. Nhưng cách trình bày ấy là một phát minh của người Ả Rập tương đối gần đây. Còn trong các văn bản cổ bằng tiếng Sanskrit, các dãy số này được viết dưới dạng một câu thơ hoặc một khổ thơ.
Một hình thức khác của ký hiệu số được dùng thường xuyên trong văn bản thiên văn học và toán học lấy chữ cái Sanskrit làm cơ sở. Có nhiều hệ như vậy. Hệ katapayadi được sử dụng rộng rãi ở miền Nam Ấn Độ, cho phép trình bày những số rất lớn và những bảng lượng giác dưới hình thức những trò chơi chữ, những câu cách ngôn hoặc những khổ thơ dễ nhớ. Hệ này khá linh hoạt khiến cho có thể viết các số bằng những câu hai nghĩa.Ví dụ, acaryavag abhedya, một lời giáo huấn Balamôn có nghĩa đen là “Không được phản bội lời Thượng đế”. là cách viết mã hoá của số 1434160, biểu đồ ghi thời gian chỉ ngày thứ 1434160 của kỷ nguyên Kali, ngày mà nhà triết học Sankaracaya thực hiện một số cải cách.
Cách viết các số thành các câu thơ như vậy có ảnh hưởng đến biện luận toán học hay không? Phải chăng có một nét đặc thù, một cái gì riêng biệt trong cách tư duy hoặc vị trí xã hội của các nhà toán học Ấn Độ khiến họ hình thành những lời giảng dạy của họ trong một cái khuôn văn học?
Văn minh Ấn Độ:
Ấn Độ cổ đại – lịch sử, văn minh và các vương triều
Cội rễ Ấn Độ – Ả Rập của châu Âu Trung Cổ
Di sản khoa học của Ấn Độ
“Các chuyên gia về tinh tú”
Ở Ấn Độ chưa bao giờ có một đẳng cấp các nhà toán học cũng như một trường phái toán học thật sự. Các nhà toán học – nếu ta gọi bằng danh từ đó là những người soạn thảo và sử dụng các văn bản tiếng Sanskrit về hình học, số học và đại số – làm việc trong sự cộng tác ít nhiều chặt chẽ với các chuyên gia về nghi lễ Veda và Bàlamôn. Là người Bàlamôn hay thuộc đẳng cấp cao, thấm nhuần văn hoá Sanskrit, trong hàng ngũ các nhà khoa học, họ được xếp vào hàng jyotirvid, tức “chuyên gia về tinh tú”. Các văn bản toán hầu hết nằm trong các khái luận thiên văn học, và lượng giác thực ra chỉ có đầy đủ ý nghĩa trong việc nghiên cứu các khoảng cách góc giữa các vì sao.
Cũng như tất cả các môn khoa học (sastra) Bàlamôn, toán học được phát triển nhằm mục đích tôn giáo, giúp vào việc thực hiện tốt các nghi lễ. Chúng ta không biết gì về cuộc đời các nhà toán học lớn của Ấn Độ, nhưng chúng ta có thể hình dung khá chính xác khung cảnh lễ nghi và kinh viện trong đó họ làm việc. Dựa vào một văn bản mà học trò ghi nhớ bằng cách nhắc đi nhắc lại từng chữ một cho đến khi chữ “dính chặt vào ngực” (tức là đã thuộc lòng), lời giảng dạy truyền khẩu của thầy giáo cung cấp các minh họa, hoặc chứng minh và những cách tính toán chứa đựng trong văn bản này là một cái chìa khoá mở ra các con đường tri thức và là một công cụ để đạt tới sự hoàn thiện về tinh thần.
Cuốn Lilavati của Bhaskara (thế kỷ XII) theo truyền thống được dùng vào mục đích ấy đối với số học và vì lẽ đó, nó kết thúc bằng một khổ thơ hai nghĩa trong đó Bhaskara so sánh Lilavati như “cô nàng duyên dáng của mình”, (nhưng từ này cũng có nghĩa là số học) với một phụ nữ có mọi vẻ kiều diễm của jati (một từ vừa có nghĩa là dòng dõi quý phái, vừa là quy đồng mẫu số theo nghĩa kỹ thuật): “Niềm vui sướng sẽ không ngừng tăng lên dưới trần thế này đối với ai giữ hàng Kanthasakta, ôm chặt nàng trong tay hay dính chặt vào ngực bằng cách nhắc đi nhắc lại cho đến lúc thuộc lòng”.
Từ hình học nghi lễ đến khái niệm của Bhaskara
Những văn bản cổ xưa nhất còn đến ngày nay là Sulbasutra – “Những cách ngôn về các dây đo”, có lẽ được soạn thảo từ Thế kỷ V đến Thế kỷ 1 Tr.CN. Đó là những khái luận ấn định các quy tắc xây dựng bàn thờ dùng cho các cuộc tế lễ theo nghi thức Veda và xây bằng gạch xếp theo những hình thức tượng trưng.
Những phép dựng hình được giảng dạy trong các cuốn sách này dựa trên vốn hiểu biết nhiều trường hợp đặc biệt của tam giác vuông (ví dụ có cạnh 3-4-5, hoặc 5-12-13, 7-24-25 v.v…) và quy tắc chung nói rằng “đường chéo của một hình chữ nhật có tích (bằng cách dựng trên nó một hình vuông) bằng tích của bề dài và tích của bề rộng hình chữ nhật cộng lại; và đường chéo của một hình vuông có tích (bằng cách dựng trên nó một hình vuông) bằng hai lần diện tích hình vuông”. Quy tắc này không được viết thành một định lý mà như một cách ngôn, một công thức cho việc tiến hành tốt đẹp nghi lễ, và là một quy tắc xây dựng. Bản thân từ sutra, ban đầu có nghĩa là có tính chất cách ngôn về phong cách, trong những cuốn sách sau trở nên có nghĩa “một quy tắc” theo nghĩa kỹ thuật trong quy tắc xây dựng.
Trong toán học Ấn Độ, không có định lý mà chỉ có những quy tắc dựa trên cách biện luận lấy trực giác làm điểm khởi đầu. Những quy tắc, những cách ngôn, những khổ thơ dễ nhớ trong những văn bản cơ bản không phải là những kết quả chứng minh mà là những điều chỉ dẫn về cách dựng hình mà người đọc hoặc người bình giải cần tiến hành. Ngay cả trong đại số, phương thức biện luận điển hình nhất cũng gắn diện tích với tích của các thừa số và đòi hỏi dựng hình.
Người ta thường nói rằng, người Ấn Độ là những nhà đại số học nhiều hơn là hình học. Thực ra trong tất cả các câu đoạn bình giải về các văn bản Aryabhata (Thế kỷ VI), Bhaskara (Thế kỷ XII); hình học đều đem lại những cách ứng dụng cho các quy tắc số học và đại số. Một không gian hình học và một tập hợp số học được xem xét chung như hai mặt của cùng một thực tế. Lời giải đại số được ghép lên hình được dựng. Chứng minh, tức là trưng bày lời giải, là làm cho người ta thấy ngay bằng trực giác. Như một nhà bình giải nói: “Chứng minh bằng số lượng cần được tiến hành cho những ai không hiểu được cách chứng minh bằng diện tích”. Như vậy, trong toán học Ấn Độ, biện luận là làm rõ một trực giác.
GS. FRANCIS ZIMMERMANN
Trích từ sách: Almanach- Những Nền Văn Minh Thế Giới
